椭圆的弦长公式及应用（椭圆相交弦相关面积的常规解法）

椭圆是封闭的圆锥曲线，也是高考的重点图形，下面是一道常见的相交弦相关面积的常规解法，难度也不是特别大，但考查的技能不少：分类讨论，联系方程消元，弦长公式，面积公式，基本不等式，换元法。

题目：已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)，不经过坐标原点的直线与椭圆交于A、B两点，求△OAB面积的最大值。

【解析】本题使用常规解法，联立方程，利用弦长公式和坐标原点到直线的距离，确定△OAB面积的表达式，再来求最大值。

【详解】

(1)当直线l斜率不存在时；

设直线方程为x=x0(x0≠0且x0≠±a)，则AB⊥x轴，考虑椭圆的对称性不妨令A点在第一象限，A点纵坐标为y0(y0＞0)，代入椭圆方程可知，

y0=[b^2-(b^2*x0^2)/a^2]^0.5，

S△OAB=(1/2)*h*|AB|=(1/2)*x0*2y0=x0*[b^2-(b^2*x0^2)/a^2]^0.5

={x0^2*[[b^2-(b^2*x0^2)/a^2]}^0.5

接下来的过程直接写在纸上拍照，大家都方便，可能相机像素不高，部分地方看不太清楚，还请见谅。

本题计算量大，需要学生有一定耐心，可作为一个二级结论应用在选填题的考试中。时间有限，暂时没有考虑其他例如平面向量、参数方程的解法。